整数表示为分数和可以追溯到3000多年前古埃及的数学问题，古埃及密切相关的分数至今仍引起数学家的好奇20世纪80年代，著名数学家鄂尔多斯·帕尔猜测，任何一组足够大的整数都可以通过对它们的倒数求和而最终组合在一起，但他并没有证明自己的猜想最近，这个40年的猜想得到了解答
古埃及乐谱
比较好操作古埃及人在计算时似乎需要分数表的帮助，这在上述古籍中也占有一定的篇幅
该乐谱被称为古埃及乐谱。当然，每一个分数都可以拆分成古埃及分数的总和，因为
个人
满足
，我们可以借用上面的例子。
不是更大吗。
满足
因此
，这就矛盾了，它们是不同的素数，说明上面的等式不存在为什么会这样素数的集合还不够大吗
等势，包括质数的集合但就上面提到的问题来看，素数集显然不够大那么我们需要定义一个新的大小概念
它是奇数或偶数，它是普通的或偶数，只要它只包含我们需要的几个数字其实这和概率的观点不谋而合:随手抓一把，如果比例足够大，就更有可能抓到符合要求的数字
被随机抽取的概率是
它被称为自然密度但是这个极限并不总是收敛的，所以一般使用上限
称为密度上限和下限。
足够的时间
那一部分呢对此，两位数学家大胆提出了一个猜想
把古埃及的分数问题分解成，用上面的符号，可以分为两个版本:
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。
。
它们中至少有一个的自然密度大于零所以如果证明了后一个问题，也就证明了前一个问题这种双重质疑并非无中生有在数论中，每一个涉及染色的命题都对应着一个涉及自然密度的命题:虽然证明了前一个问题无法推导出后一个问题，但所使用的方法可以引导我们走得更远
寻找解析数论的新方法
但即使证明第一个问题也不容易这种涉及加法的数论研究一般称为加法数论或堆数论这个分支相信很多数学爱好者都有所耳闻，因为中国解析数论学派的代表人物华，陈景润等人在这方面做出了巨大的贡献罗庚还写了《堆素数论》这本书，著名的哥德巴赫猜想也属于这一领域
对于加法数论的大部分问题，常见的初等方法甚至代数方法都相继失效，只剩下解析数论解析数论就是把数论的问题转化为一个函数或积分的估计这也是加法数论对外国人来说太抽象的原因:明明是数论问题，证明过程却全是积分和估计公式
鄂尔多斯和葛立恒的猜想也是如此鄂尔多斯于1996年去世他未婚，没有孩子留给人类的论文只有1525篇，因此他成为发表论文数量最多的数学家直到生命的最后，他也没有看到自己的猜想得到证实几年后的2003年，欧内斯特·克鲁特的论文发表，证明了猜想的第一个问题值得一提的是，早在2000年，克鲁特就在其博士论文中证明了这一结论克鲁特介绍了一种强大的谐波分析方法，优雅而巧妙这让学界对这颗新星充满期待
所谓和谐，在物理学中一般翻译为调和更神奇的是，傅立叶级数和傅立叶积分可以用来估计数论中的一些函数，将调和分析与解析数论紧密联系起来此后，这两个学科相互支撑，在20世纪现代数学的抽象大潮下迅速发展
但是面对第二个问题，克鲁特的巧妙方法失败了无论他如何摆弄现有的工具，他都无法取得更大的进步从此，克鲁特转向了其他问题的研究，我们的猜想停滞了二十年到了2020年，葛立恒因病去世，他看不到自己猜想的解
转机发生在2021年9月的一天，牛津大学的博士后托马斯·布鲁姆接到一项任务，要他向他们的讨论组解释克鲁特20年前的论文在准备的过程中，布鲁姆突然有了一个灵感——克鲁特的方法并没有走到尽头！他立即着手工作
二十年来，虽然猜想没有进展，但调和分析等前沿数学并没有停止现在，布鲁姆手里有了更多的工具他采用了更先进的组合数论/解析数论技术，改进了克鲁特的方法，最终在几个月内完成了证明
去做吧也就是说，序列不一定要收敛，只需要在一个正数附近无限振荡这是一个非常杰出的成就虽然只是挂在预印本网站上，还没有正式发表，但是已经得到了很多数学家的认可
没有一个集合符合要求。
更多的新问题会把我们引向何方让我们拭目以待
参考
Erds和格雷汉姆:组合数论中的新旧问题和结果Enseign数学
欧内斯特·克鲁特，三世 "关于单位分数的一个着色猜想 "数学年鉴157:545–556arXiv:数学NT/0311421土井:10.4007/年报2003.157.545先生1973054
乔丹娜·切佩列维奇数学‘有史以来最古老的问题’有了新的答案广达杂志检索时间是2022年3月9日
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