给几何学一个恰当的解释是不容易的因为数学这一分支的基本概念要么过于简单，无法解释，比如这里没有必要讲什么是圆，直线，平面等等，或者更高级但是，如果你没有看过这些高级概念，你对现代几何就一无所知然后，如果你知道这两个基本概念，你会收获更多这两个概念是:几何与对称的关系，流形的概念
几何和对称群
从广义上讲，几何是数学中运用几何语言的部分，如点，线，面，空间，曲线，球，立方体，距离，角度等，这些都是几何中基本的，关键的概念但是，还有一个更深刻的观点，那就是克莱因主张转化才是这门学科的真正核心所以除了上面列举的词语，还要加上反射，旋转，平移，拉伸，剪切，投影等词语还有稍微高级一点的概念，比如保角变换或者连续变形
变换总是和群在一起的，所以几何和群论有着密切的联系给定一个变换群，就有相应的几何特别地，如果一个图可以通过这个群中的一个变换变换成另一个图，则称它们是等价的不同的群体会产生不同的等价概念下面是对最重要的几何及其相关变换群的简要描述
欧几里得几何
欧几里得几何就是大多数人认为的普通几何比如三角形内角之和为180°的定理，就属于欧几里得几何
如果要从变换的角度来看欧几里得几何，首先要说明研究多少维，当然也要指定一个变换群典型的转型就是刚性转型这种转变可以从两个方面来考虑第一，刚性变换是在平面，三维空间，或者更一般地说在R N中保持距离不变的变换，也就是说，给定两点x和y，如果一个变换t使Tx和Ty之间的距离等于x和g之间的距离，就说t是刚性变换
后来发现，每一个这样的转换，都可以通过旋转，反射，平移的组合来实现这提供了第二种更具体的方式来思考这个群体换句话说，欧几里得几何研究的是在旋转，反射和平移下不变的概念这些概念包括点，线，平面，圆，球体，距离，角度，长度，面积和体积r n中的旋转构成了一个重要的群:特殊正交群，命名为SO较大的正交群O也包括反射
仿射几何
除了旋转和反射还有很多其他的线性映射如果SO或O被放大到尽可能多地包含这些线性变换，会发生什么要使一个变换成为一个群的元素，它必须是可逆的，但并不是所有的线性变换都是一样的，所以要考察的一个群是R ^ n的所有可逆线性变换形成的群GL_n，所有这些变换都保持原点不变但如果我们愿意，也可以加入平移得到一个更大的群，即由所有像X TX+B这样的变换组成的群，这里B是固定向量，而T是可逆的线性变换由此产生的几何称为仿射几何
因为线性映射还包括拉伸和剪切，既不能保持距离，也不能保持角度，所以距离和角度不是仿射几何的概念但经过可逆的线性映射和平移后，点，线，面仍然是点，线，面，所以这些概念都属于仿射几何另一个仿射概念是两条直线的平行性这意味着，虽然仿射几何中没有矩形，正方形这种东西，但平行四边形是可以讨论的同样，虽然不能讨论圆，但是可以讨论椭圆，因为线性映射总是把椭圆变成椭圆
拓扑学
与一个群相关联的几何研究这个群的所有变换所保持的概念，通过等价关系可以使之更加精确设G是R ^ n中的一个变换群，一个D维的图可以看作R ^ n的一个子集S，在研究G的几何时，我们不区分S和它在G中的变换所导出的集合，所以我们说这两个图是等价的比如两个图形在欧氏几何中等价，当且仅当它们在一般意义下全等，而在二维仿射几何中，所有平行四边形等价，所有椭圆等价总之，我们可以认为G几何的基本对象是图形的等价类，而不是图形本身
拓扑学可以认为是应用最松散的等价概念得到的几何，其中我们说两个图形是等价的或者用数学语言来说是同胚的，如果它们中的每一个都可以连续变形成另一个例如，球体和立方体在这个意义上是等价的，如下图所示
因为有很多很多连续的变形，所以很难说两个图形在这个意义上是不等价的例如，球面不可能连续变形为圆环面，这似乎是显而易见的，因为它们本质上是不同的图形——一个有洞，另一个没有但是，要把这种直觉变成严格的论证，并不容易更具体地说，它涉及不变量，代数拓扑和微分拓扑我们以后再讨论
球面几何学
到目前为止，我们一直在逐步放宽两个图等价的要求，允许越来越多的变换现在我们必须再次收紧，并考虑球体的几何形状
点的集合就像三维球体的表面是二维的一样，这个集合是n维的我们将只讨论n=2的情况，但很容易推广到更大的n
现在，合适的变换群是SO，它由所有这样的轴是经过原点的直线的旋转组成。
球面几何中有意义的概念是直线，距离和角度在限制球面的同时谈论直线似乎很奇怪但球面直线并不是通常意义上的直线，而是通过以下方法得到的S 2的子集:S 2与经过原点的平面相交形成的子集，即半径为1的圆，是球面直线
把大圆看成直线的重要原因是S 2上两点X和Y之间的最短路径就是大圆当然路径要限定在S 2
两点X和Y之间的距离定义为连接X和Y并完全位于S 2上的最短路径的长度如何定义两条球面直线的夹角直线定义为一个平面与S 2相交，所以两条球面直线的交角可以定义为这两个平面在欧氏几何意义上的夹角还有一个审美的角度，完全不涉及球体之外的东西这个视图是看两条球面直线相交的一个小邻域这时，球体的这一小部分几乎是平的，两条直线几乎是直的所以这个角度可以定义为这个极限平面上的极限线的欧几里德角
双曲线几何
参考一组变换来看几何，这种想法只是看这门学科的一种有用的方式但是，说到双曲几何，变换的方式是必不可少的
产生双曲几何的变换群是二维特殊的射影线性群，记为
解释这个群的方法之一是:特殊线性群SL_2是行列式为1的所有矩阵。
集合，即适合于关系ad—bc =1的这类矩阵的集合。为了使它射影，使矩阵A等价于—A，例如，矩阵
为了从这个群中得到一个几何，我们必须首先把它解释为一组二维点的变换群一旦完成，这个二维点集就被称为双曲几何模型微妙之处在于，双曲几何没有最自然的模型，就像球面是球体的模型一样双曲几何最常用的三种模型是半平面模型，圆盘模型和双曲面模型
半平面模型是与群PSL_2最直接相关的模型，所需二维平面点集是复平面C的上半平面，即所有复数Z = x+ig，ygt0的集合给定矩阵，这个矩阵对应的变换就是把点Z变成/条件ad—bc=1用来证明变换后的点仍在上半平面上，也用来证明变换是可逆的
这里没有做的是，没有说距离正是在这种几何中，需要群体来生成几何如果你想从变换组的角度对距离有一个概念，这个变换保持这个距离不变是很重要的
可以证明，本质上只有一种定义距离的方法具有这种性质，这就是通过变换生成几何的含义。
乍一看，这个距离有一些奇怪的性质例如，典型的双曲线的形状是半圆弧，其端点在实轴上但是，说它是半圆，只是从C上的欧几里得几何的观点来看的半圆，从双曲几何的角度来看，欧几里德几何的直线是直的，同样奇怪这两种距离的真正区别在于，双曲线距离和欧几里德距离越靠近实轴，它们就越大所以，要从Z点到W点，绕道偏离了实轴，但距离更短最佳弯曲是沿着连接点Z和点W并与实轴成直角的半圆弧
二维双曲几何最著名的性质之一是，它是一种使欧几里得平行线的公设不成立的几何即我们可以找到一条双曲直线L和它的外点X，这样过了点X就可以画出两条不与L相交的直线，经过适当的解释，欧几里德几何的其他所有公理在双曲几何中都成立因此，不可能从那些公理推导出平行公设这一发现解决了困扰数学家两千多年的难题
另一个性质完善了关于欧氏三角形和球面三角形内角和的性质自然有双曲面积的概念顶角为α，β，γ的双曲三角形的面积为π—a—β—γ所以在双曲平面上，A+β+σ总是小于π，当三角形很小时，几乎等于π内部和的性质反映了球面具有正曲率，欧几里得平面是平的以及双曲平面具有负曲率的事实于是，双曲三角形，欧氏三角形和球面三角形的内角之和分别小于，等于和大于π，差值与曲率成正比，并且这些空间的曲率相应地是负的，零的和正的它表示完成相应的性质，这就是它的意思
圆盘模型是庞加莱在登上一辆公共汽车的著名时刻构思出来的它的点集是C平面的开单位圆，即模小于1的复数的集合D现在，典型的变换形状如下取D中的一个复数A和一个实数θ，这个变换会把Z点变成点
这些变换成为一个群并不完全明显，这个群同构于PSL_2就更不明显了但可以证明，将z改为—/的函数，反映的是单位圆盘为上半平面，反之亦然这就证明了两个几何是相同的，一个几何的结果可以用这个函数换成另一个几何的结果
和半平面模型一样，当接近圆盘边缘时，双曲线距离比欧几里德距离越来越大从双曲几何的角度来看，圆盘的直径是无限的，它实际上是没有边的
双曲圆盘镶嵌路面
上图显示了一些全等的图形可以用来铺成圆盘镶嵌图说这些图形是全等的，意思是它们中的任何一个都可以在群中逐个变换成其他任何一个所以，虽然这些图形看起来不都一样，但是从双曲几何的角度来看，它们的大小和形状是一样的圆盘模型中的直线要么是与单位圆成直角的圆弧，要么是穿过圆盘中心的直线段
双曲线模型可以解释为什么这种几何叫做双曲线几何。这一次，点集合是
这是一个单叶的回转双曲面，由平面z=0上的双曲线x ^ 2 = 1+z ^ 2绕z轴旋转生成PSL_2中的一般变换是单叶旋转双曲面上的一种旋转，但可以由绕Z轴的实旋转和xz平面上的双曲旋转合成
的转变就像普通旋转保持单位圆一样，双曲线旋转保持双曲线x 2 = 1+z 2，并使其内点相互变化同样的，这个变换会给出和上面一样的群也不是很明显，但确实是，所以双曲线模型和上面两个模型是等价的
洛伦兹几何
这是狭义相对论中使用的一种几何，以4维时空，也叫闵可夫斯基空间为模型。它与4维欧几里得几何的主要区别在于，它不考虑通常两点之间的距离和，而是考虑以下量
如果不是前面那个极其重要的负号，就是欧氏距离的平方这反映了时间和空间有很大的不同
洛伦兹变换是从r 4到r 4的线性映射，保持上述广义距离不变设G是到的线性映射，G是G对应的矩阵
举个例子，如果
说这个点是空的，如果
就说是时间类的，如果
就说在光锥上这些都是洛伦兹几何的真实概念，因为都是洛伦兹变换保持的
洛伦兹几何对广义相对论也有根本的重要性，可以说是洛伦兹流形的研究这些与黎曼流形密切相关
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